2&2&2&2\\ $$ Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et soit $u\in\mathcal \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} Alors, pour tout $i=1,\dots,p$, puisque $u$ et $v$ commutent, $E_{\lambda_i}(u)$ est stable par $v$. Ay&=&\lambda x\\ 0&0 \begin{eqnarray*} On calcule le polynôme caractéristique de $A$. Calculer $A^k$ pour tout $k\in\mathbb N$. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $\phi$. La famille $(Id,f,\dots,f^{n-1})$ étant clairement une famille d'éléments de $\mathcal C_f$, il suffit de prouver que c'est une famille libre. famille d'endomorphismes diagonalisables de $E$ commutant deux à deux, $m\geq 1$. Donner un exemple simple de matrices $A$ et $B$ tel que $AB$ est diagonalisable, et On calcule le polynôme caractéristique de $A$ et on trouve Voir moins Voir plus Essai gratuit Intégrer. \end{array}\right).$$ Réduction des endomorphismes et des matrices carrées () Réduction des endomorphismes 1 / 46 1 Objectifs 2 Valeurs propres et vecteurs propres 3 Valeurs propres et vecteurs propres en dimension finie 4 Endomorphismes/matrices diagonalisables 5 Endomorphismes et Matrices Trigonalisables Dans tout le chapitre, E désigne un espace vectoriel sur le corps R (mais ça … On note $\phi$ l'application de $E$ dans lui-même qui à un polynôme $P$ associe le reste de $AP$ dans la division euclidienne par $B$. Écrire une matrice inversible comme combinaison linéaire de matrices nilpotentes. Considérer par exemple $A=\left(\begin{array}{cc} X-1&0&-1\\ Calculer le polynôme caractéristique de $A$. \hline\\ On trouve $$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} Démontrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace de $E$ possède un supplémentaire stable On a : Il existe $A\in H$ et $\lambda\in\mathbb K$ tel que $N=A+\lambda I_n$. $f(e_1)$ n'est pas lié à $e_1$, puisque $f$ est sans valeur propre. base de $E$ diagonalisant tous les $u_i$. \end{array}\right)\textrm{ et } Le théorème spectral pour les auto-adjoints et la réduction des endomorphismes orthogonaux sont des résultats incontournables. Un vecteur propre engendre un sous-espace stable. Il est facile de vérifier qu'il est égal à $2$. $n=2p+1$ est impair. \begin{array}{rcl} On vérifie facilement que $A$ et $B$ ont le même polynôme caractéristique $(1-x)(2-x)^2$. Sûrement pas! \end{array} La matrice $A$ est donc semblable à la matrice Les valeurs propres d'une matrice triangulaire supérieure étant exactement les valeurs situées sur la diagonale, on en déduit que $\phi$ est diagonalisable, ses valeurs propres étant les $(n+1)=\dim(E)$ réels distincts $1,0,-1,\dots,-n+1$. $$\dim(F_{\lambda_1})+\dots+\dim(F_{\lambda_p})=n.$$ sont égaux à $1,2,\dots,n$ et les autres coefficients sont tous égaux à 1. Soit $x\in E_\lambda$, c'est-à-dire que $f\circ g(x)=\lambda x$. D'autre part, les inclusions démontrées à la question précédente prouvent que est 0, et donc si $A$ était diagonalisable, elle serait égale à la matrice nulle, ce qui n'est pas le cas. $$C_A(X)=\left|\begin{array}{ccccc} On calcule le polynôme caractéristique de $J$. 0&1&0\\ 1&0&0\\ En déduire Notons $v_i$ la restriction de $v$ à ce sous-espace. Dans cette base, la matrice de $f$ a la forme suivante : Un isomorphisme préserve les dimensions. En particulier, il existe une base $\mathcal B_i$ de $E_{\lambda_i}(u)$ constituée de vecteurs propres de $v_i$, donc de $v$. Ceci entraîne que $P_k$ est un vecteur propre de $\phi$ associé à la valeur propre $A(x_k)$. Pour prouver l'existence d'une matrice $B$ telle que $B^3=A$, l'idée est de d'abord faire la même chose avec $D$. On trouve : et de plus $\mathbb R^{2p}=E_1\oplus E_2\oplus\dots\oplus E_{p}$. $$P=\left(\begin{array}{ccc} $A$ est semblable à une matrice diagonale $D$. x&=&x\\ $f$ est un vecteur propre de $D$ associé à la valeur propre $\lambda\in\mathbb R$ si et et seulement si $f'=\lambda f$. Ceci signifie que le vecteur 0&0&-2\\ Pour le sens 0&0&2^k\\ Ainsi, $J$ est diagonalisable, et il existe une matrice $P\in GL_n(\mathbb C)$ tel que $J=PDP^{-1}$, avec $D$ la matrice dont les éléments diagonaux sont les $\omega_k$. \begin{array}{rcl} Réduction des endomorphismes et des matrices : "le tout en un ... Des énoncés de résultats classiques pour avoir de bons réflexes en réduction. $$P=\left(\begin{array}{ccc} X-1&X-2&-1\\ \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} Démontrer que $u$ et $v$ ont un vecteur propre commun. L'espace est de \end{array}\right).$$ z=-1-y. Pour tout $x\in ]-2,2[$, on pose $x=2\cos \alpha$ avec $\alpha\in ]0,\pi[$. propre associé à la valeur propre 2, en résolvant $AX=2X$. Complétons alors la famille en $(x,f(x),e_3,\dots,e_n)$ une base de $\mathbb R^n$. 1&0\\ $$B=\left(\begin{array}{ccc} Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, et $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $f^2=-Id$. On pourra distinguer les cas $n$ pair et $n$ impair. Maintenant, comme $f$ est diagonalisable, $E$ est somme directe des sous-espaces propres de $f$. $A=(a_{i,j})$ une matrice. Endomorphismes diagonalisables 15. Puisque $(x,u(x),\dots,u^{n-1}(x))$ est une base de $E$, on en déduit que pour tout Par symétrie des rôles joués par $f$ et $g$, on a aussi $f(F_\lambda)\subset E_\lambda$. Pour la valeur propre 2, on résoud l'équation $AX=2X$ avec $X=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$. \begin{array}{rcl} $E_{\lambda_i}(f)$. Justifier que si $A^k\neq 0$, alors $k$ est une valeur propre de $\phi_B$. 3n_{3,1}&3n_{3,2}&3n_{3,3}\\ Puisque $A$ n'est pas inversible, il existe un vecteur $X$ non nul tel que $AX=0$. Ainsi, $0$ est valeur propre de $A$ de multiplicité $2n-2$. Soit $f$ l'endomorphisme associé à $A$ dans la base canonique de $\mathbb R^n$. Posons $u_3=(x,y,z)$. \end{array}\right)$$ On considère les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ définies par leur premier terme 0&2&0\\ alors on a $M^3=D$. Alors d'une part 1&1&1&1\\ dont la matrice dans la base canonique est Parmi les matrices élémentaires $E_{i,j}$, lesquelles sont diagonalisables??? Son polynôme caractéristique est $\chi_A(x)=-(x-1)(x-2)(x-3)$. 1&1\\ Ensuite, on remarque que si $M$ commute avec $A$, alors u_{n+1}&=&-4u_n-6v_n\\ On va raisonner par récurrence sur $n$. Voici un exemple unpeu moins connu. Démontrer que $J$ est diagonalisable et calculer ses valeurs propres. \begin{array}{c|c} dans l'intervalle $[n,+\infty[$. \end{array}\right).$$ D'abord si $f$ et $g$ commutent, on sait que $\ker(P(f))$ est stable par $g$ pour tout polynôme $P$, en particulier pour les polynômes $P(X)=X-\lambda$. 1&X-2&-1\\ Soit $A=\left(\begin{array}{cccc} Si $m\neq 1$ et $m\neq 2$, $f$ est un endomorphisme de $\mathbb R^3$ qui admet trois valeurs propres distinctes : Notons $P$ la matrice de passage de la base canonique de $\mathbb R^3$ dans la base $(u,v,w)$. \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} qui est inversible. $D^n$ se calcule facilement en mettant les coefficients de la diagonale à la puissance $n$. $$A(P_1+\lambda P_2)=B(Q_1+\lambda Q_2)+\big(\phi(P_1)+\lambda\phi(P_2)\big).$$ de dimension 1, engendré par le vecteur propre $\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right)$. On développe le déterminant suivant la première colonne. 0&3&2\\ 0&0 .$$ Soit $\lambda$ une valeur propre de $f$. 0&1&1 On en déduit que $1$ est une valeur propre de $\phi$ dont l'espace propre associé est constitué par les suites constantes. 0&0&0&\dots&1\\ Chaque sous-espace $E_i$ est donc stable par $A$, On écrit la relation sous la forme $PA=BP$ et on pose $S=\Re e( P)$ et $T=\Im m( P)$ de sorte que Le polynôme caractéristique de $C$ est $\chi_C(X)=-(1-X)^2(2-X)$. $$A^k=\left( En effet, puisque $A$ et $N$ commutent, donc que $A^{-1}$ et $N$ commutent, on a \right. D=\left(\begin{array}{ccc} \end{array} \end{array}\right).$$, On va commencer par déterminer les matrices $N=(n_{i,j})$ qui commutent avec $D$. $$A=\left(\begin{array}{ccc} Si $ab=0$, alors si $a=b=0$, $$A=\left(\begin{array}{cc} De plus, la limite de $P_n$ en $+\infty$ est $+\infty$ et $$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} Si $m=1$, le polynôme caractéristique de $f$ est $(1-X)^2(2-X)$. Il est stable par $v$. Soit, pour $n\geq 1$, la matrice $M_n$ de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ dont les coefficients diagonaux Cherchons l'espace propre associé à la valeur propre 1. qu'il est engendré par le vecteur propre $u_2=\left(\begin{array}{c}4\\3\\4\end{array}\right)$. Si $\lambda$ est une valeur propre associée au vecteur propre $x$, la condition $f^2(x)=-x$ entraîne que $\lambda^2=-1$ : il n'existe pas de valeurs propres réelles. \end{array}\right| Mais $v(y)\in\ker(u)$ et donc $u(v(y))=0$ et $v(z)\in\textrm{Im}(u)$ et donc $u(v(z))=v(z)$. Si $i\neq j$, alors le polynôme caractéristique de $E_{i,j}$ est $ X^n$. que $A$ est nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe $k\geq 1$ tel que $A^k=0$. \end{array}\right. Ainsi, la dimension de $\ker A$ est égale à $n-2$. Trigonaliser les matrices suivantes : Démontrer que $0$ est une valeur propre de $\phi$ et déterminer le sous-espace propre associé. D'autre part, Alors \end{array}\right.$$. $$\left(\begin{array}{c} $P=S+iT$. Puis, au début du premier chapitre, il formule le problème de la façon suivante : Nous nous proposons d'attacher à chaque ensemble borné un nombre positif ou nul que nous appellerons sa mesure et satisfaisant aux conditions suivantes : 1. En effet, en enlevant la dernière colonne à la première colonne, et la deuxième colonne aux colonnes $3,\dots,n-1$, on trouve que le rang de $A$ est égal au rang de la matrice Mais si Cherchons ce sous-espace Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb C$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Si $A$ est diagonalisable, alors $A^2$ est diagonalisable. x&=&x\\ $$\left\{\begin{array}{rcl} Mais son indice de nilpotence doit être inférieur ou égal à $n$, et on aurait $B^n=0$. \end{array}\right).$$ \sin(\alpha)P_n(x)&=&(2\cos \alpha)\sin(\alpha)P_{n-1}(x)-\sin(\alpha)P_{n-2}(x)\\ est donc diagonalisable. Mais il est clair que chaque matrice diagonale se décompose tel que la propriété est vraie. P_n(X)&=&\left|\begin{array}{ccccc} Montrer que u … Remarquons que l'énoncé de l'exercice ne demande pas de calculer $B$... Soit $A$ la matrice © 2021 - eLearning.CPGE | Premium Partnership with CPGE SUP FAMILYCPGE SUP FAMILY \begin{array}{cccc} Pour calculer l'avant-dernier déterminant qui apparait, on retranche l'avant-dernière ligne à la dernière, puis la ligne Alors, puisque $f\circ g$ est diagonalisable, on a D'où la question: est il possible de trouver une base particulière de dans laquelle la matrice serait la plus simple possible. \begin{array}{ccc} Si $A$ est nilpotente, elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte et sa trace est nulle. Il est divisé par le polynôme minimal de $f$. $$, Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962). On a $(x,y,z)\in \ker(f-I)\iff y+z=0$. Soit $A=\left(\begin{array}{cc} \end{array} Il existe donc une matrice inversible $P$ telle que $A=PDP^{-1}$, avec \end{array} $$\dim(E_\lambda)\leq \dim(F_\lambda)\textrm{ et }\dim(F_\lambda)\leq \dim(E_\lambda).$$ 3&3&3&3\\ Démontrer que, pour tout $n\geq 2$, $P_{n}(X)=(X-(n-1))P_{n-1}(X)-X(X-1)\dots(X-(n-2))$. On va procéder par récurrence double. $$ND=\left( $$\det(I_n+A^{-1}N)=1$$ \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} -2x+3y+2z&=&0\\ Il existe Alors $v(y)=v(u(x))=u(v(x))\in\textrm{Im}(u)$. Soit $n\geq 1$ et $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ tels que $AB-BA=A$. Si on met tout ensemble, on en déduit que ce qui implique le résultat voulu. On a trouvé $n$ racines distinctes pour le polynôme caractéristique de $M_n$, qui est Alors $(u,v,w)$ est une base de vecteurs propres -1&-2&0\\ Or, $\phi(P_1)+\lambda\phi(P_2)$ est de degré inférieur strict à $B$. Si l'espace était de dimension impaire, le polynome caractéristique serait de degré impair, et aurait une racine réelle, ce qui donnerait une valeur propre réelle : impossible! Soit $H$ un hyperplan de $\mathcal M_n(\mathbb K)$, $n\geq 2$. Le sous-espace propre associé à 2 est donc de dimension 2, et une base est donnée par Soient $f,g$ deux endomorphismes du $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie tels que $f$ est diagonalisable. -1&X-2&-1&\dots&-1\\ \right.$$ Ces lois munisent ainsi l’ensemble End(G) des endomorphismes du groupe abélienG d’unstructure d’anneau. Partir de $H\oplus \textrm{vect}(I_n)=\mathcal M_n(\mathbb K)$ et décomposer une matrice nilpotente dans cette somme directe. $$ Pour $n\geq 1$, soit Il admet donc un nombre fini de racines et on peut trouver $x_0\in\mathbb R$ tel que $S+x_0 T$ est inversible. B=\left(\begin{array}{ccc} La propriété est vraie si $k=0$ ou si $k=1$. Considérons $E_\lambda$ le sous-espace propre associé. \end{array} \end{array}\right. $$\phi(p_\lambda)(x)=f(p_\lambda(x))=\lambda p_\lambda(x)$$ L'équation $\sin((n+1)\alpha)=0$ admet $n$ racines dans l'intervalle $]0,\pi[$ qui sont les réels on ne peut plus considérer le polynôme $Q_p$ qui est nul. \end{array}\right|\\ comme somme des $E_{i,i}$, ie $B=\sum_{i=1}^n\lambda_i M_{i,i}$. -1&*&\dots&*\\ Soit $w$ la restriction de $v$ à $E_\lambda$. $$\left|\begin{array}{ccccc} $$u^n(x)=b_0x+\dots+b_{n-1}u^{n-1}(x).$$ La composition des endomorphismes (ϕ,ψ) 7→ϕ ψ est une loi associative et distri-butive par rapport à l’addition; l’application identique deG en est un élément neutre. Le vecteur $(2,-1,0)$ est donc un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre -1. \begin{array}{rcl} On continue ainsi pour construire $e_3$, etc... La matrice résultante est diagonale par blocs, les $n$ blocs sont ceux apparus à la question 1. a&b&a&b&\dots\\ Ce polynôme minimal est de degré $n$, car les valeurs propres de $f$ sont toutes distinctes. \end{array}\right).$$. 2 Danscecours estuncorpsquipeutê tre Q,Rou C. Tabledesmatières 1 Unpeudethéoriedesgroupes 7 ... semble des vecteurs de Rn est le vecteur nul (dont toutes les coordonnées sont 0). En déduire la valeur de $A^n$ pour tout $n\in\mathbb N$. $$(S+xT)A=B(S+xT).$$ Soit $E$ un $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension finie, et soient $f,g\in\mathcal L(E)$. de $g\circ f$) associé à $\lambda$. 1&1\\ 1&3&0\\ -1&0&\dots&0&x 2&1&-2\\ $\alpha_k=\frac{k\pi}{n+1}$, $k=1,\dots,n$. $$PBP^{-1}=\left( On calcule d'abord $J^2$, $J^3$, etc… et on observe que la diagonale de $-1$ se décale vers la droite. Autrement dit, $A$ admet deux valeurs propres distinctes, et donc $A$ est diagonalisable. Trouver d'abord une matrice $M$ telle que $M^3=D$. -1&-1&X-3&\dots&\vdots\\ $$v(u(x))=v(0+z)=v(z).$$ On pourra considérer les restrictions de $g$ à chacun des sous-espaces propres de $f$. $$(BA-\alpha I)(BCA-I)=\alpha I.$$ \vdots&\dots&\dots&\ddots&0\\ réciproque, considérer un supplémentaire stable d'un hyperplan. $$A=\left( Pour cela, nous allons prouver que la matrice $A^{-1}N$ est nilpotente. \end{array}\right).$$. $f$ est donc un multiple de la fonction $x\mapsto \exp(\lambda x)$, et la réciproque est vraie. 1&0&0\\ Posons alors $u_3=(0,0,-1)$. Polynome caract eristique d’un endomorphisme 17. sont-elles semblables? \end{align*}, On procède par récurrence sur $n$. On commence par écrire que $A+N=A(I_n+A^{-1}N)$ et donc il suffit de prouver que Soit $G=\vect(e_{p+1},\dots,e_n)$. \vdots&0&\ddots&\vdots&\vdots\\ y&=&x\\ $u_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$. En développant par rapport à la première ligne, on trouve base de $F$. C'est vrai! \end{array}\right)$$ $\left(\begin{array}{c}4\\3\\-2\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c}2\\-3\\2\end{array}\right)$. \end{array} $$\left(\begin{array}{c} Ainsi, les espaces propres $E_\lambda$ et $F_\lambda$ ont même dimension. par les éléments de la diagonale. Alors $G$ est Par récurrence, $X_n=A^n X_0$ ce qui permet Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg −gf = f. Montrer que f est nilpotent. Ainsi, $C$ s'écrit $C=PDP^{-1}$ avec $D$ la matrice diagonale Pour trigonaliser la matrice, il suffit de compléter la base par un troisième Comme $B\wedge A=1$, on a $B|P$, et réciproquement tout multiple de $B$ dans $E$ est tel que $\phi( P)=0$. On fixe $\mathcal B$ une base de $E$ et on désigne par $A$ (resp. est un -espace vectoriel, , est un morphisme d’algèbre. $\chi_A(X)=(X-3)(X-2)^2$. Ay&=&\lambda^2 y\\ \end{array}\right).$$ 0&-1&0&\dots&0\\ a&b&a&b&\dots\\ Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$ supérieure ou égale à 2. $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique. On cherche ensuite un troisième vecteur $u_3$ tel que $f(u_3)=u_2+u_3$. Puisque $3+1\geq 4$, on en déduit que $A$ est diagonalisable. Par exemple, les sommes des coefficients sur chaque ligne sont égales... Puisque la matrice n'admet que deux colonnes distinctes, elle est de rang au plus 2. \end{array}\right| \end{array}\right) +\left| Il suffit de chercher pour chaque valeur propre un vecteur propre associé. les vecteurs $\left(\begin{array}{c}3\\2\\0\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)$. Pour le sens direct, il "suffit" d'écrire ce que l'on veut. \end{array}\right. $A$ est donc diagonalisable. Si la trace de $A$ n'est pas nulle, alors on raisonne comme à la question précédente pour déduire que $A$ est diagonalisable. Exercices - Réduction des endomorphismes : corrigé Réduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Spé - ? 1&\ddots&0&b_1\\ $M$ est de la forme Autrement dit, l'application Retirer la première colonne à la dernière. En effet, considérons, pour tout couple $(i,j)$ avec $i\neq j$, la matrice $\left(\begin{array}{ccc} En particulier, il est scindé. Mais $\det(AB)=\det(BA)=0$, et donc $0$ est valeur propre de $g\circ f$. Comme il est à valeurs dans $\mathbb R_{n-1}[X]$, il ne peut pas être surjectif et donc ce n'est pas un isomorphisme. a_1&\dots&a_{n-1}&a_0 2n_{2,1}&2n_{2,2}&3n_{2,3}\\ Considérons $p_\lambda$ un projecteur sur $E_\lambda(f)$. Démontrer que Par hypothèse de récurrence, $A'=QB'Q^{-1}$ où $B'$ a la forme voulue. On en déduit que $\phi$ est lui-même diagonalisable. on a $PDP^{-1}=A$. Ce système est équivalent à $x=y=z$ et un vecteur propre est donc Si $A=PDP^{-1}$, commencer par déterminer toutes les matrices qui commutent avec $D$, puis remarquer que si $M$ commute avec $A$, alors $P^{-1}MP$ commute avec $D$. Procédons de proche en proche. Alors $w$ est un endomorphisme du $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension finie $E_\lambda$ et donc $w$ admet un vecteur propre $x\in E_\lambda$. C'est un vecteur propre de $v$ (puisque $w$ est une restriction de $v$), et c'est un vecteur propre de $u$ puisqu'il est élément de $E_\lambda$. Donc $A$ 0&2&1\\ Exercice no 10 (****) : Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle. B=\left(\begin{array}{ccc} \end{array}\right).$$ Réduction des endomorphismes. Donner un exemple de tel endomorphisme sur $\mtr^2$. On va écrire la matrice de $\phi$ dans la base canonique de $E$. &\iff&\forall x\in E,\ g(x)\in E_{\lambda}(f)\\ de Mathématiques ECE 2 RÉDUCTION DE MATRICES ET D’ENDOMORPHISMES Calculs directs Exercice 1. $$\left\{ Pour k ∈{0,...,n−2}, le résultat de la question précédente nous dit que P n(k) et P n(k+ 1) sont de signe contraire. 0&-1\\ On le note . (2017 : 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) $A$ est déjà diagonale. 1.1. Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ non nulle tel que $A^2=0$ et soit $r$ le rang de $A$. $$\frac{u_n+u_{n-1}}2=\lambda u_n\iff (1-2\lambda)u_n=-u_{n-1}.$$ $1$ est la seule racine de ce polynôme, et comme $A\neq I_3$, $A$ n'est pas diagonalisable. Montrer que u et v ont un vecteur P_n(X)&=\big(X-(n-1)\big) P_{n-1}(X)+(-1)^n X\big((n-2-X)\cdots(1-X)\big)\\ Quels sont les endomorphismes dont le polynôme minimal est de degré 1? u_n&=&(2(-1)^n-2^n)u_0+(2(-1)^n-2^{n+1})v_0\\ \right).$$ On peut commencer par calculer le rang de $A$. Math spé : Exercices sur la réduction d'endomorphismes. $\textrm{mult}(\lambda)$ désigne la multiplicité de la valeur propre $\lambda$. This paper. Posons $B=PMP^{-1}$. \end{array}\right|. \begin{array}{rcl} Exercice 2 . 0&1&0&\dots\\ C'est faux! $$D=\left(\begin{array}{cc} Pour $k=n-1$, alors x&-1&0&\dots\\ Remarquons que la réponse à la question précédente a permis de prouver que $0$ est valeur propre pour $\phi$. 0&0&2^k Soit $A\in GL_n(\mathbb C)$ et $N\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ nilpotente. \chi_J(x)&=&\det(xI_n-J)\\ Que dire d'un polynome de degré impair? On procède par récurrence sur $m$. \end{array} $A$ est semblable à cette dernière matrice et l'hypothèse de récurrence est prouvée. $$\dim(g(E_\lambda))=\dim(E_\lambda)\textrm{ et }\dim(f(F_\lambda))=\dim(F_\lambda).$$ \textrm{ et } Alors, $B=A-\sum_{i\neq j}a_{i,j}M_{i,j}$ est une matrice diagonale (si vous n'êtes pas Montrer que u et v ont un \begin{array}{ccccc} ALGEBRE 4: Réduction des Endomorphismes et Applications PDF : pour les etudiants faculté des sciences science de SMA S3 par cours science exerice examens tp td pdf gratuit, Ch. En écrivant d'autre part que $$f(u_3)=u_2+u_3\iff \left\{ \end{array}\right|.$$ $$ Im est le sous-espace vectoriel engendré par . Maintenant, puisque $u$ est diagonalisable, $\mathcal B_1\cup\dots\cup \mathcal B_p$ est une base de $E$ constituée de vecteurs propres pour $u$ et pour $v$, d'où le résultat. On a $P^{-1}AP=Q(D)$ qui est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les $Q(\omega_k)$, et donc Donc $A$ est semblable à $B$. En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, la réduction d'endomorphisme a pour objectif d'exprimer des matrices et des endomorphismes sous une forme plus simple, par exemple pour faciliter les calculs. On cherche ensuite le sous-espace propre En déduire que $A_n$ est diagonalisable. On a le résultat voulu en posant $Q=S+x_0 T$. \begin{array}{ccc} C'est évident si $i=j$ (la matrice -1&-1&\dots&-1&X-(n-1)\\ et Maintenant, on a encore pour tout $x\in\mathbb R$, \end{array}\right)$$ Exercice 1 On considère la matrice A = 1 1 1 6 0 −3 8 −4 −1 respectivement B = 0 −1 1 −1 0 1 1 1 0 1. Le polynôme caractéristique est scindé, et se factorise en $X^{n-1}(X-\lambda)$. On commence par remarquer que $L$ est une symétrie : $L^2(P)=P$ pour tout polynôme $P$. est encore une famille libre de $\mathbb R_{n}[X]$, constituée de $2(p+1)=n+1$ vecteurs. $$\det(BA-\alpha I)\times\det(BCA-I)=\alpha^n\neq 0,$$ \end{array}\right|.$$ Cette matrice est donc diagonalisable si et seulement si c'est la matrice nulle. $$A=P(\pi I_3)P^{-1}.$$ Toutes les colonnes étant identiques, et la matrice n'étant pas la matrice nulle, elle est de rang 1. 1&0&0\\ 1&4&2\\ The temporal graph exploration problem TEMP is the problem of computing a foremost exploration schedule for a temporal graph, i.e., a temporal walk that starts at a given start node, visits all nodes of the graph, and has the smallest arrival time. $f$ est donc diagonalisable. $$A=\left(\begin{array}{ccc} Réduction des endomorphismes I. Polynômes d'endomorphismes Exercice 1 . Soit $n=\dim E$ et soit $\mathcal B$ une base de $E$ constituée de Si $n=1$, le résultat est trivial. Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962). X-1&-1&\dots&\dots&-X\\ Décomposition de Dunford-Jordan; Décomposition spectrale $A$ n'admet pas de racine carrée. $$P_k(X)=X^k+X^{n-k}\textrm{ et }Q_k(X)=X^k-X^{n-k}.$$ \begin{array}{cccc} $A^k=PD^kP^{-1}$. \end{array}\right).$$, Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n'est pas diagonalisable : 1&1&0\\ $$\left(\begin{array}{ccc} Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. g&\mapsto&(g_1,\dots,g_p) 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ Soit $\mu=\lambda^2\in\mathbb C$. 0&\ddots&\ddots&1\\ 3x+6y+6z&=&0 \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$P_{n}(n-1)=-(-1)^{n+n-1}P_n(n-1)<0.$$ Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie. 3&0&-1\\ et on a $A=PDP^{-1}$. Donc, toujours par le théorème des valeurs intermédiaires, on trouve une racine \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \end{array}\right)$$ $$P=\left( En utilisant $\det(BAB-\lambda B)$, démontrer que $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique. 2x-3y-z&=&0 $$\left(\begin{array}{cccc} est diagonalisable pour chaque $i$. 0&1&1\\ De plus on a On commence par calculer le polynôme caractéristique de A, on trouve Prendre un exemple en dimension 2, avec $AB=0$ et $BA\neq 0$. L'espace $\prod_{i=1}^p \mathcal L\big(E_{\lambda_i}(f)\big)$ ayant pour dimension $\sum_{i=1}^p \textrm{mult}(\lambda_i)^2$, il en est de même de $\mathcal C_f$. \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} 0&0 et donc que $BA-\alpha I$ est inversible. Commencer par trouver un vecteur tel que $Ax$ ne soit pas colinéaire à $x$. $B$) la matrice de $f$ (resp. Caract´erisation des endomorphismes diagonalisables Proposition 8 – Soit λ ∈ K. On note Eλ = Ker(f −λId) = {x ∈ E; f(x) = λx}. \begin{array}{c}u_n\\v_n\\w_n\end{array}\right)$. On pose $X_n=\left( Factoriser par $B$ (une fois à droite, une fois à gauche). 0&0&\pi $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&1\\ Mais la matrice de la restriction de $A$ à $E_i$ est exactement une matrice $2\times Plus généralement, soit $g\in\mathcal L(E)$. -x+y+z&=&0\\ &=_{L_2-L_1\to L_2}&\left|\begin{array}{ccc} \sin(3\alpha)&=&\sin(2\alpha)\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cos(2\alpha)\\ \begin{array}{cccc} 0&2&-1\\ Comme $N$ est nilpotente, elle n'admet que $0$ pour valeur propre. 3&5&0\\ b&a&b&a&\dots\\ \begin{array}{rcl} Que peut-on en déduire pour $\det(BA-\alpha I)$? Alors les familles $(P_k)_{k=0,\dots,p}$ et $(Q_k)_{k=0,\dots,p}$ sont deux familles libres On a $Ae_i=\alpha_{2p+1-i}e_{2p+1-i}$ et $Ae_{2p+1-i}=\alpha_i e_{i}$. $$\det(A)=\det(Q(D))=\prod_{k=0}^{n-1}\left(a_0+a_1\omega_k+\dots+a_{n-1}\omega_k^{n-1}\right).$$. (BA-\alpha I)(BCA-I)&=&B(ABC)A-BA-\alpha BCA+\alpha I\\ \textrm{ et } $$ $BA$ est diagonalisable, tandis que $AB$ ne l'est pas. Soit $n\geq 2$ et $A$ la matrice définie par $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ où $a_{i,i+1}=1$ pour $i=1,\dots,n-1$, les autres coefficients étant tous nuls. et donc $M$ commute avec $A$ si et seulement si $P^{-1}MP$ commute avec $D$, donc si et seulement si cette matrice est diagonale. \end{array}\right. \end{array}\right).$$ \right).$$ c'est une famille génératrice, puisqu'on a une famille de $n^2$ éléments dans un espace de dimension $n^2$.

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