puissance d'une matrice exercice corrigé

endobj >> x��P(�� 3 Examen Exercice 9 I Soit a 2R et Aa 2M 3(R) la matrice suivante Aa = 0 @ 1 0 a+1 1 2 0 1 1 a 1 A Première partie : 1.Factoriser le polynôme caractéristique P Aa (X) en produit de facteurs du premier degré. 25 0 obj ]O��{=�g�%��mڶ��ڏ��9)��k��m�}�/,��SW�.7��t��J��Z�/��E��oۦC��^��n�H�� ZIi�&�� %PDF-1.4 /Filter /FlateDecode /Matrix [1 0 0 1 0 0] Méthode de la puissance a) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de A = 10 0 91 . Matrices en MP, PC, PSI et PT (inverse d’une matrice, noyau & image) 1. endobj 3.Déterminer les valeurs de a pour lesquelles la matrice Aa est diagonalisable. /Filter /FlateDecode >> << /BBox [0 0 100 100] >> /BBox [0 0 100 100] a) Exprimer en fonction de et . >> /Matrix [1 0 0 1 0 0] 7 0 obj �=8��y>�}g*Vk�N`��3�[)�Y>�S|�V��J: ��(W� ��'��;�-��N?v��V��.�"�C�� R"��L�BQk.A�� o��Z�NOO��r&�+��u�@�g�N|g$��pgM߯`�aR��j�j; 3`�@��_��%�� "��k&a��~g��(\�,0hx .��JX �r��Х"$`G6ACh��@稸�s �j� P_��qn �y��¥T"�" /Filter /FlateDecode a` la puissance matricielle. stream endobj b) Que donne la méthode de la puissance pour la matrice A en partant de x 0 =(2,1)T? /Type /XObject /Type /XObject /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 22.50027 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> /BBox [0 0 100 100] x��P(�� Explications et exemples détaillés. /Matrix [1 0 0 1 0 0] 23 0 obj /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 20.00024 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> >> 6 0 obj stream << /Filter /FlateDecode /ProcSet [ /PDF ] (iii) M 3 = 2 1 2 0 . /Filter /FlateDecode 2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est : 3) Pour tout , on en déduit que : . >> /Matrix [1 0 0 1 0 0] Attention : il ne s’agit plus d’une courbe comme celle trac´ee pr´ec´edemment avec plot, il ne faut donc pas utiliser les valeurs servant a num´eroter les individus. �a��?q��K�Da�KԤ Lb\:H��u�o7�Dç��#i�+�ևE않��ƥ21Fa �s�>d��6*�b9��UX�8`�(7�*#^�kWD�0��2�e��H�yL�#sr��b�{�J�ң�:��F�νG7�pm]�\�t�hg�&��^BI�ӆJ�96P��Q�1��c��)�s)%Br4��)�� E��f̭�TҐ�,�v�u|�j�ĺLW��NO�:9�2��-��xJm��j�FAis;�?2�fLQ䍰��2n�uF�>��a[HK�g��ف��.a6X��˥��o7�X3Ϋ7��B-�� .�+��hD��;��x`r~��*.S�U �fK.q��",��e��7�TV�,�`&6P��n,�Օs�Z*�N'ܛo��o�"]*U�"��d��Yi�. /Resources 11 0 R >> /ProcSet [ /PDF ] /Matrix [1 0 0 1 0 0] b) En déduire la valeur de si Correction: a) b) Si , on note : il existe deux réels et tels que est vraie avec et . >> /Resources 31 0 R Travail et puissance d'une force - Exercices corrigés 1, Travail et puissance d'une force, Physique et Chimie 1er BAC Sciences et Technologies Mécaniques BIOF, AlloSchool endobj /Matrix [1 0 0 1 0 0] (��rx�ᕲ��1�wsC�XP��12��V �L�{�؄ ֢z�m� endstream endstream 2. /Resources 33 0 R 4 0 obj /Subtype /Form /FormType 1 stream /FormType 1 Puissance n -ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3. /Filter /FlateDecode endobj ?�CB8x��xb,:h�s��j��:�k�(��؆hF)�r��G��9�M��t6��M��!�F��=�Pe�G2քഉjN��}�g e�n��GViv^! >> /FormType 1 >> /Resources 7 0 R /FormType 1 /Matrix [1 0 0 1 0 0] endobj endstream Exercice 1 On considère les matrices à coefficients réels et définies par : où I désigne la matrice unité d'ordre 3. /Subtype /Form endstream /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0.0 0 100.00128 0] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> 8 0 obj endobj Soit M = a2 −1 ab ac ab b2 −1 bc ac bc c2 −1 . endobj Exercice 1 Soit .. Exprimer en fonction de et . 10 0 obj (Oral Centrale 2018) On montre que la suite des puissances d'une matrice stochastique à coefficients strictement positifs est convergente (,'�֌(K NIMg-��XQ�Y3�>t�n� J��*f-g�tvC�I�'$�jm /��u�*TJdg��u-s}`EWU��bGGT��)��X�SY�!�w�aP%��V��6��eA��i1�N��dE0A|��fQn1z�(��R#�X��\��C�$��U��S�M1�N�3�c,/2��̎�ȴru�D#g��. Projet de site de mathématiques du Lycee Notre Dame de La Merci à Montpellier pour les étudiants en Seconde Exercices corrigés sur les Puissances Chap 1 - Ex 6A - Puissances de 10 … stream endobj stream stream Calculer la puissance d’une matrice Déterminant d’une matrice Déterminant d’une matrice par récurrence Produit scalaire avec des matrices Diagonaliser une matrice 2×2 Diagonaliser une matrice 3×3 Exercice classique avec la trace Autre exercice classique avec la trace Symétrie et antisymétrie. << 33 0 obj Déterminer pour tout entier n ⩾ 1, l'expression de D n. /Matrix [1 0 0 1 0 0] /ProcSet [ /PDF ] /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0 0.0 0 100.00128] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> Exercice 13 { (extrait partiel novembre 2011) Soit Xet Y deux matrices carr ees non nulles de m^eme taille a coe cients r eels, montrer que endobj 5 0 obj Multiplication d'une matrice carrée de format $2$ par une matrice colonne. /ProcSet [ /PDF ] /ProcSet [ /PDF ] Exercice4. c) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres v 1 et v 2 de A = 1 3 31 . <> Puissance n-ième d'une matrice diagonale d'ordre 2 ou 3. endobj "��2m�. << /Type /XObject /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 21.25026 23.12529 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> /Filter /FlateDecode endobj endobj /BBox [0 0 100 100] stream x��P(�� : On eﬀectue la réduction de la matrice A jusqu’à obtenir une forme échelonnée. 1. Inverse d'une matrice carrée de format $2$. Lorsque c’est le cas, les diagonaliser puis calculer leur puissance 100-ième. /ProcSet [ /PDF ] /Type /XObject << /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0 0.0 0 100.00128] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> endstream Indication H Correction H Vidéo [001064] 2 Inverse Exercice 5 Calculer (s’il existe) l’inverse des matrices : a b ... On note kXk2 = tXX : kXkest la norme ou la longueur du vecteur X. /Resources 9 0 R 22 0 obj On obtient cette décomposition de la matrice dans l’exercice 9. 5 0 obj /Filter /FlateDecode /ProcSet [ /PDF ] 32 0 obj En conclusion, la seule valeur propre est 1, et les seuls vecteurs propres sont les suites constantes. /Subtype /Form Ce n’est néanmoins pas la décomposition de Cholesky. endstream >> /Resources 17 0 R Comment calculer des puissances d'une matrice carrée. /Length 15 endstream 40 0 obj Sol. /BBox [0 0 100 100] /Type /XObject /Subtype /Form >> stream /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0.0 0 100.00128 0] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> stream x��P(�� >> << /BBox [0 0 100 100] /ProcSet [ /PDF ] Inverse d'une matrice : calcul Vidéo — partie 5. /Length 15 endstream x��P(�� #�`o��Pݿڅ �#Q�sk��k��F��Q//�wc`��ď��-��|��u')��rj7�"�� F�(��ݳG��/vw��O�{O��t��u�-�7��5��Q�L� Q��DY( �;D�J�o�5p��Z��̀z2TY��kG�(p]�İ�*�ƪ�Kk& =D�2� G Z(U `6՚�QPPF��@��j �[XP�=� /FormType 1 /BBox [0 0 100 100] >> << (i)Première étape : valeurs propres. /Length 15 << Inverse d'une matrice : définition Vidéo — partie 4. /Subtype /Form �G��Nq << On a donc obtenu pour tout … /ProcSet [ /PDF ] /Subtype /Form >> %�� Exercices de Math´ematiques Diagonalisation des matrices Enonc´es´ Enonc´es des exercices´ Exercice 1 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´eﬁnie par A = −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 Exercice 2 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´eﬁnie par A = 0 −2 0 1 0 −1 0 2 0 dans R si possible, sinon dans C. endstream %PDF-1.5 endobj 28 0 obj /Filter /FlateDecode /Length 15 x��P(�� Essayer gratuitement. /FormType 1 /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0.0 0 100.00128 0] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> /Length 15 /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0.0 0 100.00128 0] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> /Resources 26 0 R Exercice 1 Soit . /Resources 29 0 R x��[�s�6�_��s'��4s7��%�*3;��R�?��$(H��?�4�`�X��v��+|��2��cE)C�Ji�$'��m�~�v�t�b��L�٭{�ٛŮm�u�s��q{M��Z2�Y?u�?��9!��G�. /Type /XObject /Type /XObject x��P(�� endobj C’est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 dont l’équation caractéristique est . << 2�[� ��l��+�KGi��涎Ҋy��50[�O6�C�2U�PB�`��kK��0��GR�c�9��un6��B��f1j�W��7�:غ��ai Hz�4�@�UJ��f��;ݍ�\�H��H�X$��Qj2-)q�R�-��¯�QM%��w�q�"�,��!�?��;�`,��!��-�%2Tx�}�ޛ�-o��G�^�@b�U��U�t�{g\��r��?,��y��"�X��a��Gln�X�+��VZ� ��ۈY��]� d]Gn!�x�j�X��4�j�"�Ze�$վ*� �m�� [aR��T8a>��U��?Z᫹��C*��#C*i�c��r�S�T��R�vH�\�"�l�/�_6:. /Subtype /Form >> >> 9 0 obj >> On considere la matrice D = 0 @ a 0 0 0 b 0 0 0 c 1 A. Determiner pour tout entier n > 1 l’expression de Dn Methode 1 : Raisonnement par recurrence Soit A = 0 1 n2 3 . Série 6 (Corrigé) Exercice 1 a) Calculer la décomposition LU de la matrice A = 9 6 3 6 3 1 1 0 1 . << >> /Resources 5 0 R /Resources 35 0 R x��P(�� /BBox [0 0 100 100] endobj /Type /XObject /Filter /FlateDecode Ressources de mathématiques. 26 0 obj /BBox [0 0 100 100] /Length 15 3.Calculer la matrice de f dans la base B0. >> Exercices CORRIGES sur les Puissances - Site de maths du lycee La Merci (Montpellier) en Seconde ! ECT2 Corrigé du DEVOIR MAISON No 1 15 Octobre 2020 Exercice 1 Extrait de ECRICOME 2008 A/ Puissance n-ième d’une matrice 1. De ce calcul on déduit d’une part que tXX >0. << 20 0 obj endstream Exercice 1 : inverser une matrice endobj On considère l’espace R2 muni de la base canonique B ˘(e1,e2). << En déduire la valeur de si . Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences et Techniques - Tanger - Algorithme et Langage C Exercices Présenté par : Prof.Fatima IBRAHIMI Mme Fatima IBRAHIMI Année Universitaire 2012/2013 Prof.Fatima IBRAHIMI Algorithmique Algorithme Prof.Fatima IBRAHIMI Exercice 1 • Quelles seront les valeurs des variables A et B après exécution des instructions … stream /Filter /FlateDecode /Length 15 En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Puissance d'une matrice Initiation aux matrices/Exercices/Puissance d'une matrice », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. >> 31 0 obj stream Calculer en fonction de Commentaires Pour le calcul de ... Il s’agit d’une simple application de la règle des dominos (ou des calculs en cascades). Résumé de cours Exercices et corrigés. /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0 0.0 0 100.00128] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> Inverse d'une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires Vidéo — partie 6. 35 0 obj >> Par exemple, si on considère la matrice 0 1 1 0 A − = , on aura 0 1 1 0 A At = =− − 2) L’indication 1 3≤ ≤i et 1 3≤ ≤j nous donne le format de la matrice A : il s’agit d’une matrice 3 3×. /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Type /XObject endobj 19 0 obj >> stream << Exercice 12 { Soit Aet Bdeux matrices carr ees de m^eme ordre, on suppose que la matrice ABest inversible d’inverse la matrice C. Montrer alors que Best inversible et pr eciser A 1. En savoir plus sur l'abonnement. >> << /Type /XObject endstream /Type /XObject 11 0 obj Corrigé de l’exercice 1 : Corrigé de l’exercice 1.1. Il existe donc deux réels et tels que pour tout , et donnent et soit et . /FormType 1 << 34 0 obj /Length 15 << endobj /Length 15 << << /S /GoTo /D [41 0 R /Fit] >> << Exercice 10 Une matrice symétrique définie positive, A, peut aussi être écrite comme A = UL, avec U une matrice triangulaire supérieure et L = U′. 29 0 obj << �^W�� Exercice n°3 1) Toute matrice antisymétrique possède une transposée égale à son opposée. #f��~�J+�8�[m�z��rA4�,�8�QQ��W%��j�5�Ԉ�"�1�"�*5��Ks�W�H��X��%��J��{B�u�q�Հ��;w3I��7�Ghj_�yle_��=�B�O��]�"�W�7��\w�" %�쏢 {|��LI��c�"��i��\�_� M�0�\�=]@.��5��;�\&Ƴ�s�ZI[�3#��n(��H�R��t� << 16 0 obj Matrices : Démonstration d'un résultat du cours - Puissances d'une matrice diagonale Soient a, b et c trois réels. Si , , formule qui reste vraie si . /Matrix [1 0 0 1 0 0] R3 une application linéaire dont la matrice dans la base canonique est A ˘ 0 @ 9 ¡6 10 ¡5 2 ¡5 ¡12 6 ¡13 1 A. Calculer les matrices de passage d’une base à l’autre. 2017: 4 exercices (Calcul d’une puissance d’une matrice de taille 4 et caractérisation de l’endomorphisme associé, série de Fourier, extremums d’une fonction de deux variables, exercice d’algorithmique sur la longueur d’une suite de 1 dans un tableau).

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